4067.

620.đ

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

9x2−4y23x2+5xy+2y2\frac{9x^2-4y^2}{3x^2+5xy+2y^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti brojilac na činioce koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

9x2−4y2=(3x)2−(2y)2=(3x−2y)(3x+2y)9x^2 - 4y^2 = (3x)^2 - (2y)^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)

Zatim ćemo rastaviti imenilac na činioce. Imenilac je kvadratni trinom po x. x . Možemo ga rastaviti metodom grupisanja članova tako što ćemo srednji član 5xy 5xy napisati kao 3xy+2xy. 3xy + 2xy .

3x2+5xy+2y2=3x2+3xy+2xy+2y23x^2 + 5xy + 2y^2 = 3x^2 + 3xy + 2xy + 2y^2

Sada grupišemo prvi sa drugim i treći sa četvrtim članom i izvlačimo zajedničke činioce.

3x(x+y)+2y(x+y)=(x+y)(3x+2y)3x(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(3x + 2y)

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti nula.

(x+y)(3x+2y)≠0  ⟹  x+y≠0 i 3x+2y≠0(x + y)(3x + 2y) \neq 0 \implies x + y \neq 0 \text{ i } 3x + 2y \neq 0

Dakle, uslovi su:

x≠−yix≠−23yx \neq -y \quad \text{i} \quad x \neq -\frac{2}{3}y

Sada zamenjujemo rastavljene izraze u početni razlomak i skraćujemo zajednički činilac (3x+2y). (3x + 2y) .

(3x−2y)(3x+2y)(x+y)(3x+2y)=3x−2yx+y\frac{(3x - 2y)(3x + 2y)}{(x + y)(3x + 2y)} = \frac{3x - 2y}{x + y}

Konačan rezultat sa uslovima je:

3x−2yx+y,x≠−y,x≠−23y\frac{3x - 2y}{x + y}, \quad x \neq -y, \quad x \neq -\frac{2}{3}y