Ugao pod kojim se seku krive x kvadrat i x kub

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku krive $y_1=x^2$ i $y_2=x^3.$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

x^2=x^3

x^2-x^3=0

x^2(1-x)=0

x^2=0 \land 1-x=0

Rešenja jednačine su:

x_1=0 \land x_2=1

Dakle, krive se seku u dve tačke: $M_1(0, 0)$ i $M_2(1,1).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po x.

y_1'=2x

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po x.

y_2'=3x^2

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_1$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(0)=0, k_2=y_2'(0)=0

U tački $M_1(0,0)$ koeficijenti pravca $k_1$ i $k_2$ su jednaki, što znači da su tangente u toj tački identične i ne postoji ugao preseka - krive se dodiruju u tački $M_1(0,0).$

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_2$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(1)=2*1=2, k_2=y_2'(1)=3*1^2=3

Ugao između kriva u tački $M_2$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{3-2}{1+3*2} \rvert =\frac{1}{7}\implies \alpha=\arctg{\frac{1}{7}}

Započni učenje

Online časovi

2. Odredjivanje ugla

Beleške