Ugao između krivih: y = sin x i y = cos x

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku krive $y_1=\sin{x}$ i $y_2=\cos{x}.$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečnu tačku dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

\sin{x}=\cos{x}

x=\frac{\pi}{4}

Dakle, krive se seku u tački: $M(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po $x.$

y_1'=\cos{x}

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po $x.$

y_2'=-\sin{x}

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, k_2=y_2'(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Ugao između kriva u tački $M$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{2}{4}}\rvert=\lvert \frac{-\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}\rvert =2\sqrt{2}\rArr\alpha=\arctg{2\sqrt{2}}

5. određivanje ugla