Ugao između parabole y = √x i hiperbole y = 1/x

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku parabola $y_1=\sqrt{x}$ i hiperbola $y_2=\frac{1}{x}.$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

\sqrt{x}=\frac{1}{x}

Potrebno je kvadrirati jednačinu:

x=\frac{1}{x^2}

x^3=1\rArr x=1

Dakle, krive se seku u tački: $M(1, 1).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po $x.$

y_1'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po $x.$

y_2'=(x^{-1})=-\frac{1}{x^2}

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(1)=\frac{1}{2}, k_2=y_2'(1)=-1

Ugao između kriva u tački $M$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{-1-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\rvert =\lvert \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\rvert=3\rArr \alpha=\arctg{3}

7. Odredjivanje ugla