Ugao pod kojim se seku krive y = tg x i y = ctg x

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku krive $y_1=\tg{x}$ i $y_2=\ctg{x}.$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

\tg{x}=\ctg{x}

x=\frac{\pi}{4}

Dakle, krive se seku u tački: $M_1(\frac{\pi}{4}, 1).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po $x.$

y_1'=\frac{1}{\cos^2{x}}

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po $x.$

y_2'=-\frac{1}{\sin^2{x}}

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\cos^2{\frac{\pi}{4}}}=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{1}{\frac{2}{4}}=\frac{4}{2}=2

k_2=y_2'(\frac{\pi}{4})=-2

Ugao između kriva u tački $M$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{2+2}{1-4}\rvert =\frac{4}{3}\rArr\alpha=\arctg{\frac{4}{3}}

6. Određivanje ugla