Ugao između parabola y = x na 2 i y na 2 = x

TEKST ZADATKA

Naći ugao pod kojim se seku krive $y_1=x^2$ i $y_2^2=x$

REŠENJE ZADATKA

y_2^2=x \rArr y_2=\sqrt{x}

y_1^2=x^4

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1^2=y_2^2$

x^4=x

x^4-x=0

x(x^3-1)=0

Rešenja jednačine:

x_1=0, x_2=1

Dakle, krive se seku u dve tačke: $M_1(0, 0)$ i $M_2(1,1).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po x.

y_1'=2x

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po x.

y_2=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_1$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(0)=0, k_2=y_2'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0}}

Rešenje u tački $M_1$ odbaciti zbog deljenja sa $0$

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_2$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(1)=2, k_2=y_2'(1)=\frac{1}{2}

Ugao između kriva u tački $M_2$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{\frac{1}{2}-2}{1+1}\rvert =\lvert \frac{-\frac{3}{2}}{2}\rvert=\lvert -\frac{3}{4}\rvert \rArr\alpha=\arctg{\frac{3}{4}}

4. Odredjivanje ugla