Ugao pod kojim se seku prava y = x i y = √x

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku krive $y_1=x$ i $y_2=\sqrt{x}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

x=\sqrt{x}

Kvadrirati obe strane jednačine:

x^2=x

x^2-x=0

x(x-1)=0

Rešenja jednačine:

x_1=0, x_2=1

Dakle, krive se seku u dve tačke: $M_1(0, 0)$ i $M_2(1,1).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po $x.$

y_1'=1

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po $x.$

y_2'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_1$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(0)=1, k_2=y'_2(0)=\frac{1}{2\sqrt{0}}

Rešenje u tački $M_1$ se odbacuje zbog deljenja sa $0.$

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_2$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y'_1(1)=1, k_2=y_2'(1)=\frac{1}{2}

Ugao između kriva u tački $M_2$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha}=\lvert \frac{\frac{1}{2}-1}{1+\frac{1}{2}}\rvert =\lvert \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\rvert =\frac{1}{3} \rArr \alpha=\arctg{\frac{1}{3}}

3. Određivanje ugla