Tangenta i normala krive y = e na (1 − x na 2)

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangente i jednačinu normale krive $y=e^{1-x^2}$ u tačkama preseka sa pravom $y=1$

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno uzeti prirodni logaritam obe strane, kako bi određivanje jednačina bilo jednostavnije:

\ln{1}=\ln{e^{1-x^2}}

Primenjuje se svojstvo logaritma $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{1}=(1-x^2)\ln_e{e}

Srediti izraz:

0=1-x^2

Primeniti formulu za razliku kvadrata:

(1-x)(1+x)=0

Rešenja jednačine:

x_1=1, x_2=-1

Dakle, tačke preseka sa $x-osom$ su $(1, 1), (-1, 1),$ što znači da će postojati dve tangente, jedna u tački $(1, 1),$ a druga u tački $(-1, 1).$

Prvi izvod funkcije $y$ po $x$ odrediti primenom formule za izvod složene funkcije:

y'=e^{1-x^2}(1-x^2)'

y'=e^{1-x^2}\cdot(-2x)=-2xe^{1-x^2}

Izračunati vrednost izvoda u tačkama $x_1=1, x_2=-1$ kako bi se odredili koeficijenti pravca tangenti.

y'(1)=-2e^{1-1}=-2e^0=-2

y'(-1)=2e^0=2

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: $y-y_0=y'(x_0)*(x-x_0)$

Jednačina tangente u tački $(1, 1):$

t_1:y=-2x+3

Jednačina tangente u tački $(-1, 1):$

t_2:y=2x+3

Odrediti jednačinu normale po formuli: $y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}*(x-x_0)$

Jednačina normale u tački $(1,1)$ je:

n_1:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

Jednačina normale u tački $(-1,1)$ je:

n_2:y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

16. Tangenta i normala