Ugao između parabola y = (x − 2) na 2 i 6x − x na 2 − 4

TEKST ZADATKA

Odrediti ugao pod kojim se seku parabole $y_1=(x-2)^2$ i $y_2=-4+6x-x^2.$

REŠENJE ZADATKA

Prvo odrediti presečne tačke dve krive rešavanjem jednačine: $y_1=y_2$

(x-2)^2=-4+6x-x^2

x^2-4x+4=-4+6x-x^2

2x^2-10x+8=0 \rArr x^2-5x+4=0

Rešenja jednačine:

x_1=1, x_2=4

Dakle, krive se seku u dve tačke: $M_1(1, 1)$ i $M_2(4,4).$

Odrediti prvi izvod funkcije $y_1$ po $x.$

y_1'=2(x-2)\cdot(x-2)'

y_1'=2(x-2)\cdot1

y_1'=2x-4

Odrediti prvi izvod funkcije $y_2$ po $x.$

y_2'=6-2x

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_1$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(1)=2-4=-2, k_2=y_2'(1)=-2+6=4

Odrediti koeficijente pravca tangenti kriva $y_1$ i $y_2$ u tački $M_2$ uvrštavanjem u odgovarajuće prve izvode.

k_1=y_1'(4)=8-4=4, k_2=y_2'(4)=-8+6=-2

Ugao između parabola u tački $M_1$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha_1}=\lvert \frac{4+2}{1-8}\rvert=\frac{8}{7} \rArr \alpha_1=\arctg{\frac{8}{7}}

Ugao između parabola u tački $M_2$ određuje se po formuli: $\tg{\alpha}=\lvert \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\rvert$

\tg{\alpha_2}=\lvert \frac{-2+4}{1-8}\rvert =\frac{8}{7} \rArr \alpha_2=\arctg{\frac{8}{7}}

\alpha_1=\alpha_2

8. Određivanje ugla