5947. Neodredjeni integrali

Integral je zapisan po diferencijalu funkcije $\sin x ,$ a ne po $dx .$ Tablične formule važe za bilo koju promenljivu, pa i kada je promenljiva neka funkcija $u=u(x) ,$ a $du$ njen diferencijal ( $du=u'(x)\,dx$ ). Uvodimo $u=\sin x :$

\int\sin x\,d(\sin x)=\int u\,du

Po formuli $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ) sa $a=1 ,$ zatim vraćamo $u=\sin x :$

\int u\,du=\frac{u^2}2+C=\frac{\sin^2x}2+C

Proveravamo po teoremi $d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx :$ diferencijal rezultata mora biti podintegralni izraz. Po pravilu za izvod složene funkcije:

d\left(\frac{\sin^2x}2\right)=\frac{2\sin x}{2}\,d(\sin x)=\sin x\,d(\sin x)

Dakle, $\int\sin x\,d(\sin x)=\frac12\sin^2x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

322.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci