5948. Neodredjeni integrali

Tablične formule važe za bilo koju promenljivu, pa i kada je promenljiva neka funkcija $u=u(x) ,$ a $du$ njen diferencijal ( $du=u'(x)\,dx$ ). Ovde je $u=\operatorname{ctg}x ,$ pa integral postaje integral stepena:

\int\operatorname{ctg}^2x\,d(\operatorname{ctg}x)=\int u^2\,du

Primenjujemo $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ) sa $a=2$ i vraćamo smenu:

\int u^2\,du=\frac{u^3}3+C=\frac{\operatorname{ctg}^3x}3+C

Provera diferenciranjem po $u :$ $\left(\frac{u^3}3\right)'=u^2 ,$ pa je

d\left(\frac{\operatorname{ctg}^3x}3\right)=\operatorname{ctg}^2x\,d(\operatorname{ctg}x)

Traženi integral je $\frac13\operatorname{ctg}^3x+C .$ Pazite: integral nije $-\operatorname{ctg}x-x$ (to je $\int\operatorname{ctg}^2x\,dx$ ), jer ovde integralimo po $d(\operatorname{ctg}x) .$

Započni učenje

Privatni časovi

322.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci