6599. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka su $\alpha$ i $\beta$ ravni strana diedra, $s$ ivica i $\varphi$ ugao diedra. Prava prodire $\alpha$ u tački $A$ i $\beta$ u tački $B .$ Neka je $B'$ podnožje normale iz $B$ na $\alpha ,$ a $A'$ podnožje normale iz $A$ na $\beta .$

Ugao prave $p$ prema ravni $\pi$ je oštar ugao koji prava $p$ obrazuje sa svojom ortogonalnom projekcijom $p'$ u ravni $\pi .$ Projekcija prave $AB$ na $\alpha$ je $AB' ,$ pa je ugao prave sa $\alpha$ ugao $\theta_\alpha=\measuredangle BAB'$ ; slično $\theta_\beta=\measuredangle ABA' .$ Iz pravouglih trouglova $ABB'$ i $BAA' :$

\sin\theta_\alpha=\frac{BB'}{AB},\qquad \sin\theta_\beta=\frac{AA'}{AB}

Kao u zadatku 134: ako je $B_1$ podnožje normale iz $B'$ na $s ,$ po teoremi o tri normale je $BB_1\perp s ,$ ugao $BB_1B'$ je nagibni ugao $\varphi$ (ili $180^\circ-\varphi ,$ ako $B'$ padne van strane), a sinusi tih uglova su jednaki. Odatle:

BB'=d(B,s)\sin\varphi,\qquad AA'=d(A,s)\sin\varphi

Uvrštavanjem dobijamo:

\sin\theta_\alpha=\frac{d(B,s)\sin\varphi}{AB},\qquad \sin\theta_\beta=\frac{d(A,s)\sin\varphi}{AB}

Uglovi $\theta_\alpha$ i $\theta_\beta$ su oštri, a dva oštra ugla su jednaka tačno kada su im sinusi jednaki. Pošto je $\sin\varphi\ne0$ i $AB\ne0 :$

\theta_\alpha=\theta_\beta \iff \sin\theta_\alpha=\sin\theta_\beta \iff d(B,s)=d(A,s)

Prava gradi jednake uglove sa stranama diedra ako i samo ako su prodorne tačke $A$ i $B$ jednako udaljene od ivice, što je i trebalo dokazati.

Započni učenje

Privatni časovi

142

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci