6579. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka je $n\perp\alpha ,$ $n\cap\alpha=\{A\}$ i $\alpha\parallel\beta .$ Ako je $\alpha=\beta ,$ nema šta da se dokazuje, pa neka je $\alpha\ne\beta .$ Najpre pokazujemo da $n$ prodire $\beta .$ Prava $n$ ne leži u $\beta ,$ jer $A\in n ,$ a $A\notin\beta .$

n\perp\alpha,\quad n\cap\alpha=\{A\},\quad A\notin\beta

Pretpostavimo da $n$ nema zajedničkih tačaka sa $\beta .$ Izaberimo $B'\in\beta$ ; ravan $\sigma$ određena pravom $n$ i tačkom $B'$ seče $\alpha$ po pravoj $l\ni A ,$ a $\beta$ po pravoj $t\ni B' .$ Po zadatku 116 je $l\parallel t .$ Plejferova aksioma iz planimetrije: u ravni, kroz tačku van prave postoji tačno jedna prava paralelna toj pravoj. Prava $n$ seče $l$ u $A$ i različita je od nje, pa bi bila druga paralela pravoj $t$ kroz $A$ — nemoguće. Dakle, $n$ seče $\beta$ u jednoj tački $B .$

n\cap\beta=\{B\}

Uzmimo dve različite prave $a_1, a_2$ ravni $\alpha$ kroz $A .$ Ravni $\sigma_1=(n,a_1)$ i $\sigma_2=(n,a_2)$ su različite i seku $\beta$ po pravama $t_1$ i $t_2$ kroz $B .$ Po zadatku 116 je $t_1\parallel a_1$ i $t_2\parallel a_2 :$

\sigma_i\cap\alpha=a_i,\quad \sigma_i\cap\beta=t_i,\quad t_i\parallel a_i\quad(i=1,2)

Kako je $n\perp\alpha ,$ prava $n$ je normalna na $a_1$ i $a_2 .$ U ravni $\sigma_i ,$ prava normalna na jednu od dve paralelne prave normalna je i na drugu, pa je $n\perp t_1$ i $n\perp t_2 .$ Prave $t_1\ne t_2$ (inače bi se ravni $\sigma_1, \sigma_2$ poklopile):

n\perp a_i,\ a_i\parallel t_i \implies n\perp t_i\quad(i=1,2)

Košijeva teorema: ako prava $n$ prodire ravan $\pi$ u tački $P$ i pri tome je upravna na dvema raznim pravim $a$ i $b$ te ravni koje sadrže tačku $P ,$ tada je $n\perp\pi .$ Prava $n$ prodire $\beta$ u $B$ i normalna je na dve različite prave $t_1, t_2$ te ravni kroz $B ,$ dakle $n\perp\beta ,$ što je trebalo dokazati.

Započni učenje

Privatni časovi

122

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci