119

Ako je $m=n ,$ nema šta da se dokazuje. Neka je $m\ne n$; tada paralelne prave $m$ i $n$ određuju ravan $\sigma .$ Prava $m$ prodire $\alpha$ u tački $M ,$ a po zadatku 115 i njoj paralelna prava $n$ prodire $\alpha$ u nekoj tački $N .$

Prva prava je $MN .$ Ona leži u $\alpha$ i prolazi kroz $M ,$ pa je $m\perp MN$ (definicija normale na ravan). U ravni $\sigma$ je $n\parallel m ,$ a prava normalna na jednu od dve paralelne prave normalna je i na drugu:

Druga prava: u ravni $\alpha$ neka je $b$ prava kroz $N$ normalna na $MN .$ Izaberimo tačku $K\in m ,$ $K\ne M .$ Teorema o tri normale: neka je prava $AB$ normalna na ravan $\pi$ u tački $B$ i prava $BC$ normalna na pravoj $p$ ravni $\pi$ u tački $C .$ Tada je prava $AC$ normalna na pravoj $p .$

Prava $b$ je normalna na $MN$ i na $KN ,$ a te dve prave leže u ravni $\sigma$ i seku se u $N .$ Prava $b$ ne leži u $\sigma$ (ravan $\sigma$ seče $\alpha$ samo po pravoj $MN$), pa prodire $\sigma$ u $N .$ Po Košijevoj teoremi je $b\perp\sigma ,$ pa je $b$ normalna na svaku pravu ravni $\sigma$ kroz $N ,$ i na $n :$