118

Po definiciji, prava $n$ je normalna na ravan $\pi$ ako je prodire i upravna je na svakoj pravoj te ravni koja sadrži prodornu tačku. Neka su $\alpha$ i $\beta$ različite ravni normalne na pravoj $p$ i neka ih ona prodire u tačkama $A$ i $B .$ Pretpostavimo suprotno, da ravni imaju zajedničku tačku $X .$

Slučaj $A\ne B .$ Tada $X$ ne leži na $p$ (inače bi bilo $X=A$ i $X=B$), pa su $A,B,X$ temena trougla. Prava $XA$ leži u $\alpha$ i prolazi kroz prodornu tačku $A ,$ pa je normalna na $p$; isto tako je $XB\perp p :$

Trougao ne može imati dva prava ugla, jer bi zbir uglova bio veći od $180^\circ .$ Dakle, u ovom slučaju ravni nemaju zajedničkih tačaka.

Slučaj $A=B .$ Ravni $\alpha\ne\beta$ imaju zajedničku tačku $A ,$ pa se seku po pravoj $s .$ Izaberimo tačku $Y\in\alpha$ van $s$ (tada $Y\notin\beta$) i ravan $\sigma$ određenu pravom $p$ i tačkom $Y .$ Ona seče $\alpha$ po pravoj $AY ,$ a $\beta$ po nekoj pravoj $l$ kroz $A .$ Obe prave su normalne na $p$ u tački $A :$

U ravni $\sigma$ kroz tačku $A$ postoji tačno jedna prava normalna na $p ,$ pa je $AY=l .$ Tada $Y\in l\subset\beta ,$ a to je nemoguće. I u ovom slučaju pretpostavka vodi u kontradikciju.