121

Neka prava $m$ prodire $\pi$ u tački $M ,$ a $n$ u tački $N .$ Razlikujemo slučajeve $M=N$ i $M\ne N .$

Slučaj $M=N .$ Kada bi bilo $m\ne n ,$ prave $m,n$ bi određivale ravan $\sigma$ koja seče $\pi$ po pravoj $l$ kroz $M .$ Po definiciji normale na ravan obe prave bi bile normalne na $l$ u tački $M ,$ a u ravni $\sigma$ postoji samo jedna takva normala. Dakle $m=n .$

Slučaj $M\ne N .$ Neka je $K\in m ,$ $K\ne M ,$ i neka je $p$ prava ravni $\pi$ kroz $N$ normalna na $MN .$ Teorema o tri normale: neka je prava $AB$ normalna na ravan $\pi$ u tački $B$ i prava $BC$ normalna na pravoj $p$ ravni $\pi$ u tački $C .$ Tada je prava $AC$ normalna na pravoj $p .$

Prave $n ,$ $KN$ i $MN$ su sve normalne na pravoj $p$ u istoj tački $N$ ($n\perp p$ jer je $n\perp\pi$). Po zadatku 120 one leže u jednoj ravni $\sigma :$

Osnovno svojstvo prostora: ako dve različite tačke prave pripadaju ravni, onda cela prava pripada toj ravni. Prava $m$ ima u ravni $\sigma$ dve tačke $K$ i $M ,$ pa je $m\subset\sigma .$ Dakle, $m$ i $n$ leže u istoj ravni $\sigma .$

U ravni $\sigma$ su obe prave normalne na istoj pravoj $MN$ ($m\perp MN$ u $M$ i $n\perp MN$ u $N ,$ jer je $MN\subset\pi$). U ravni su dve prave normalne na istoj pravoj paralelne: