120

Ako se neke dve od pravih $a,b,c$ poklapaju, imamo najviše dve prave kroz $N ,$ a one uvek leže u jednoj ravni. Neka su $a,b,c$ tri različite prave. Prave $a$ i $b$ se seku u $N ,$ pa određuju ravan $\sigma .$

Pokažimo da $p$ prodire $\sigma .$ Kada bi $p$ ležala u $\sigma ,$ u toj ravni bi kroz tačku $N$ postojale dve normale na pravu $a :$ $b$ i $p .$ Normala je jedinstvena, pa bi bilo $p=b ,$ a to je nemoguće jer je $p\perp b .$ Zato $p$ ima sa $\sigma$ samo tačku $N .$

Košijeva teorema: ako prava $n$ prodire ravan $\pi$ u tački $P$ i pri tome je upravna na dvema raznim pravim $a$ i $b$ te ravni koje sadrže tačku $P ,$ tada je $n\perp\pi .$ Prava $p$ je normalna na dve različite prave $a$ i $b$ ravni $\sigma$ kroz prodornu tačku $N :$

Pretpostavimo da $c$ ne leži u $\sigma .$ Prave $p$ i $c$ se seku u $N$ i određuju ravan $\tau\ne\sigma ,$ koja seče $\sigma$ po nekoj pravoj $l$ kroz $N .$ Pošto je $p\perp\sigma ,$ prava $p$ je normalna na svaku pravu ravni $\sigma$ kroz $N ,$ pa i na $l :$

U ravni $\tau$ kroz tačku $N$ postoji tačno jedna normala na $p ,$ a i $c$ i $l$ su takve normale. Zato je $c=l\subset\sigma ,$ što protivreči pretpostavci.