117

Slučaj $a\subset\alpha .$ Po definiciji iz gradiva, seku se samo dve razne ravni sa zajedničkom tačkom, pa ravan ne seče samu sebe, tj. $\alpha\parallel\alpha .$ Zato ravan $\pi=\alpha$ sadrži pravu $a$ i paralelna je sa $\alpha .$ Svaka druga ravan $\pi\ne\alpha$ kroz $a$ imala bi sa $\alpha$ zajedničke tačke prave $a ,$ dakle sekla bi je. Zato je $\pi=\alpha$ jedina.

Slučaj $a\cap\alpha=\varnothing ,$ postojanje. Po teoremi o paralelnosti prave i ravni postoji prava $b\subset\alpha$ paralelna sa $a .$ U ravni $\alpha$ izaberimo pravu $c$ koja seče $b .$ Neka je $A\in a$ i neka je $c'$ prava kroz $A$ paralelna sa $c .$ Prave $a$ i $c'$ se seku u $A$ (različite su, jer bi inače $c$ bila paralelna sa $b$) i određuju ravan $\pi :$

Ni $a$ ni $c'$ nemaju zajedničkih tačaka sa $\alpha :$ za $a$ je to dato, a prava $c'$ leži u ravni prave $c$ i tačke $A ,$ koja seče $\alpha$ samo po pravoj $c ,$ a $c'\cap c=\varnothing .$ Pretpostavimo da se $\pi$ i $\alpha$ seku po nekoj pravoj $s .$ Prave $a$ i $s$ leže u $\pi$ i nemaju zajedničkih tačaka, pa je $a\parallel s$; isto tako $c'\parallel s :$

Slučaj $a\cap\alpha=\varnothing ,$ jedinstvenost. Neka su $\pi_1\ne\pi_2$ dve ravni koje sadrže $a$ i paralelne su sa $\alpha .$ Izaberimo $C\in\pi_2$ van $\pi_1$ i $B\in\alpha .$ Tačke $A, C, B$ nisu kolinearne ($B$ nije u $\pi_2 ,$ a prava $AC$ jeste), pa određuju ravan $\tau .$ Ona seče $\pi_1$ po pravoj $l_1$ kroz $A ,$ ravan $\pi_2$ po pravoj $l_2=AC$ i ravan $\alpha$ po pravoj $t$ kroz $B$; pritom je $l_1\ne l_2 ,$ jer $C\notin\pi_1 .$

Po zadatku 116 (ravan seče dve paralelne ravni po paralelnim pravama) je $l_1\parallel t$ i $l_2\parallel t .$ Tada bi u ravni $\tau$ kroz tačku $A$ postojale dve različite paralele pravoj $t ,$ što protivreči Plejferovoj aksiomi. Zato je $\pi_1=\pi_2 .$