115

Prava prodire ravan ako s njom ima tačno jednu zajedničku tačku. Ako je $b=a ,$ tvrđenje je očigledno. Neka je $b\ne a$ i neka prava $a$ prodire ravan $\pi$ u tački $P .$ Dve različite paralelne prave određuju ravan; označimo je sa $\sigma :$

Ravni $\sigma$ i $\pi$ su različite (prava $a$ leži u $\sigma ,$ a ne leži u $\pi$) i imaju zajedničku tačku $P .$ Po definiciji iz gradiva, dve razne ravni sa zajedničkom tačkom seku se po pravoj; označimo je sa $s .$ Pritom je $s\ne a ,$ jer $s\subset\pi ,$ a $a\not\subset\pi :$

Plejferova aksioma iz planimetrije: u ravni, kroz tačku van prave postoji tačno jedna prava paralelna toj pravoj. U ravni $\sigma$ prava $s$ prolazi kroz tačku $P\in a$ i različita je od $a .$ Kada $s$ ne bi sekla $b ,$ kroz tačku $P$ bi postojale dve paralele pravoj $b$ ($a$ i $s$). Zato $s$ seče $b$ u nekoj tački $Q ,$ koja leži u $\pi :$

Pokažimo da je $Q$ jedina zajednička tačka. Kada bi $b$ imala sa $\pi$ dve zajedničke tačke, ležala bi u $\pi ,$ a kako leži i u $\sigma ,$ bilo bi $b\subset\sigma\cap\pi=s ,$ tj. $b=s .$ Ali $s$ seče $a$ u tački $P ,$ a $b$ je paralelna sa $a$ i nema s njom zajedničkih tačaka — kontradikcija.