4794. Odnosi tačaka, pravih i ravni. Diedar, triedar, rogalj

Pošto prava $a$ prodire ravan $\pi ,$ ona je seče u jednoj tački $A$ i ne pripada joj. Paralelne prave $a$ i $b$ određuju ravan; označimo je sa $\alpha .$

a\cap\pi=\{A\},\quad a\not\subset\pi,\quad a\parallel b\implies a,b\subset\alpha

Ravni $\alpha$ i $\pi$ imaju zajedničku tačku $A ,$ ali nisu iste, jer bi u suprotnom prava $a$ pripadala ravni $\pi .$ Zato se one seku po nekoj pravoj $r$ koja sadrži $A .$

\alpha\ne\pi,\quad A\in\alpha\cap\pi\implies\alpha\cap\pi=r,\quad A\in r

U ravni $\alpha$ prava $r$ seče pravu $a$ u tački $A .$ Zato $r$ nije paralelna sa $a ,$ pa nije paralelna ni sa $b ,$ koja je paralelna sa $a .$ Dve neparalelne prave iste ravni seku se; označimo $B=r\cap b .$

r\cap a=\{A\},\quad a\parallel b\implies r\not\parallel b\implies r\cap b=\{B\}

Kako je $B\in r$ i $r\subset\pi ,$ tačka $B$ pripada ravni $\pi .$ Prava $b$ ne može pripadati ravni $\pi :$ tada bi kroz $A$ u toj ravni postojala prava paralelna sa $b ,$ a zbog jedinstvenosti paralele to bi bila prava $a ,$ suprotno uslovu $a\not\subset\pi .$

B\in b\cap\pi,\qquad b\not\subset\pi

Dakle, prava $b$ ima sa ravni $\pi$ jednu zajedničku tačku i ne pripada toj ravni. Prema definiciji, prava $b$ prodire ravan $\pi ,$ što je trebalo dokazati.

b\cap\pi=\{B\},\quad b\not\subset\pi

115