6581. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka se ravni $\alpha\perp\beta$ seku po pravoj $s .$ Ravan $\alpha$ je normalna na ravni $\beta$ ako se te dve ravni seku i određuju diedar čiji je ugao prav. Nagibni ugao diedra je ugao po kome neka ravan upravna na ivici diedra seče taj diedar. Plan: u ravni $\beta$ konstruišemo pravu $m$ kroz $A$ koja je normalna na $\alpha ,$ a zatim pokažemo da je $n=m .$

U ravni $\beta$ neka je $m$ prava kroz $A$ normalna na $s$ (ako je $A\in s ,$ to je normala na $s$ u tački $A$ ), sa podnožjem $S$ na $s .$ U ravni $\alpha$ neka je $l$ prava kroz $S$ normalna na $s :$

m\subset\beta,\ m\perp s;\qquad l\subset\alpha,\ l\perp s;\qquad m\cap l\cap s=\{S\}

Prava $s$ je normalna na $m$ i na $l$ u tački $S ,$ pa je po Košijevoj teoremi $s$ normalna na ravan $(m,l) .$ Ta ravan je, dakle, upravna na ivici diedra i seče njegove strane po pravama $m$ i $l .$ Zato je ugao između $m$ i $l$ nagibni ugao diedra, a on je prav jer je $\alpha\perp\beta :$

s\perp (m,l) \implies \measuredangle(m,l)=90^\circ \implies m\perp l

Prava $m$ prodire $\alpha$ u $S$ i normalna je na dve različite prave $s$ i $l$ ravni $\alpha$ kroz $S .$ Košijeva teorema: ako prava $n$ prodire ravan $\pi$ u tački $P$ i pri tome je upravna na dvema raznim pravim $a$ i $b$ te ravni koje sadrže tačku $P ,$ tada je $n\perp\pi .$

m\perp s,\ m\perp l \implies m\perp\alpha

Prave $n$ i $m$ su obe normalne na ravan $\alpha ,$ pa su po zadatku 121 paralelne. Paralelne prave sa zajedničkom tačkom $A$ se poklapaju:

n\parallel m,\quad A\in n\cap m \implies n=m

Kako je $m\subset\beta ,$ dobijamo $n\subset\beta ,$ što je trebalo dokazati.

Započni učenje

Privatni časovi

124

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci