Lopitalova teorema: ln(1 − x) + x na 2 kroz (1+x) na n

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\ln{(1-x)}+x^2}{(1+x)^n-1+x^2}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{\ln{(1-0)}+0}{(1+0)^n-1+0}=\frac{\ln{0}}{1-1}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(\ln{(1-x)}+x^2)'}{((1+x)^n-1+x^2)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1}{1-x}(-1)+2x}{n\cdot(1+x)^{n-1}+2x}

Zameniti vrednost za $x.$

\frac{-\frac{1}{1-0}+0}{n\cdot1^{n-1}+0}=-\frac{1}{n}

10. Lopitalova teorema