Lopitalova teorema: (e na x − e na −x − 2x)/(x − sin x)

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin{x}}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{1-1-0}{0-0}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x-e^{-x}-2x)'}{(x-\sin{x})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos{x}}

Opet probati uvrstiti $x=0.$

\frac{1-1-2}{1-1}=\frac{0}{0}

Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0},$ pa se ponovo primenjuje Lopitalova teorema.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x+e^{-x}-2)'}{(1-\cos{x})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x-e^{-x}}{-(-\sin{x})}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin{x}}

Uvrštavanjem vrednosti za $x$ opet se dobije neodređeni izraz, te je potrebno primeniti Lopitalovo pravilo.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x-e^{-x})'}{(\sin{x})'}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos{x}}

Opet pokušati zameniti $x=0.$ Ovaj put dobije se granična vrednost.

\frac{1+1}{1}=2

8. Lopitalova teorema