Lopitalova teorema: limes sa arctg x u nuli

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{x-\arctg{x}}{x^3}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{0-\arctg{0}}{0}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(x-\arctg{x})'}{(x^3)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}

Srediti izraz:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)}

Uvrstiti $x=0.$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{1}{3(1+x^2)}=\frac{1}{3(1+0)}=\frac{1}{3}

9. Lopitalova teorema