Lopitalova teorema: limes razlike korena u nuli

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}}{\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x})'}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+2x}}\cdot2-\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}\cdot(-2)}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot(-1)}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+2x}}+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}

Opet probati uvrstiti $x=0.$

\frac{\frac{1}{\sqrt{1+0}}+\frac{1}{\sqrt{1-0}}}{\frac{1}{2\sqrt{1+0}}+\frac{1}{2\sqrt{1-0}}}=\frac{1+1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2

6. Lopitalova teorema