300.

7. Lopitalova teorema

TEKST ZADATKA
REŠENJE ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

lim⁡x→0x⋅ln⁡x\lim_{{x} \to {0}}x\cdot\ln{x}

Izraz je potrebno svesti na oblik f(x)g(x):\frac{f(x)}{g(x)}:

lim⁡x→0ln⁡x1x\lim_{{x} \to {0}}\frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}

Uvrstiti x=0.x=0. Dobije se neodređeni izraz −∞∞.\frac{-\infty}{\infty}.

ln⁡010=−∞∞\frac{\ln{0}}{\frac{1}{0}}=\frac{-\infty}{\infty}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}

lim⁡x→0(ln⁡x)′(1x)′\lim_{{x} \to {0}}\frac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

lim⁡x→01x−1x2=lim⁡x→0−x2x=lim⁡x→0(−x)\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{{x} \to {0}}-\frac{x^2}{x}=\lim_{{x} \to {0}}(-x)

Uvrstiti vrednost za x.x.

lim⁡x→0(−x)=0\lim_{{x} \to {0}}(-x)=0