Lopitalova teorema: x na m puta ln x kad x teži 0+

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0^+}}(x^m\cdot\ln{x})

REŠENJE ZADATKA

Potrebno je promeniti oblik izraza u $\frac{f(x)}{g(x)}$

\lim_{{x} \to {0^+}}\frac{\ln{x}}{\frac{1}{x^m}}

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{\infty}{\infty}.$

\frac{\ln{0^+}}{\frac{1}{0^{+m}}}=\frac{+\infty}{+\infty}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0^+}}\frac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x^m})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{1}{x}}{-m\cdot x^{-m-1}}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{1}{-m\cdot x^{-m-1}\cdot x}

Srediti izraz:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{1}{-m\cdot x^{-m-1+1}}=-\frac{1}{m}\lim_{{x} \to {0}}\frac{1}{x^{-m}}

Uvrstiti vrednost za $x.$

-\frac{1}{m}\lim_{{x} \to {0^+}}x^m=\frac{1}{m}\cdot0=0

14. Lopitalova teorema