Lopitalova teorema: 1/x − 1/(e na x − 1) u nuli

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})

REŠENJE ZADATKA

Srediti izraz:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{e^0-1-0}{0\cdot(e^0-1)}=\frac{1-1-0}{0}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x-1-x)'}{(x(e^x-1))'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x-0-1}{(e^x-1)+xe^x}

Opet probati uvrstiti $x=0.$

\frac{1-0-1}{1-1+0\cdot1}=\frac{0}{0}

Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0},$ pa se ponovo primenjuje Lopitalova teorema.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x-1)'}{(e^x-1+xe^x)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x}{e^x+e^x+xe^x}

Opet pokušati zameniti $x=0.$ Ovaj put dobije se granična vrednost.

\frac{1}{1+1+0}=\frac{1}{2}

15. Lopitalova teorema