Lopitalova teorema: limes 5 na x kroz x na kvadrat

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{5^x}{x^2}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=\infty.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{\infty}{\infty}.$

\frac{5^\infty}{\infty^2}=\frac{\infty}{\infty}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{(5^x)'}{(x^2)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{5^x\cdot\ln{5}}{2x}=\frac{\ln{5}}{2}\cdot\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{5^x}{x}

Dobije se neodređeni izraz $\frac{\infty}{\infty},$ pa se ponovo primenjuje Lopitalova teorema.

\frac{\ln{5}}{2}\cdot\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{(5^x)'}{x'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\frac{\ln{5}}{2}\cdot\lim_{{x} \to {\infty}}\frac{5^x\cdot\ln{5}}{1}=\frac{(\ln{5})^2}{2}\lim_{{x} \to {\infty}}5^x

Opet pokušati zameniti $x=\infty.$ Ovaj put dobije se granična vrednost.

\frac{(\ln{5})^2}{2}\lim_{{x} \to {\infty}}5^\infty=+\infty

4. Lopitalova teorema