Lopitalova teorema: limes polinoma kad x teži 1

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {1}}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^4-x^3-x+1}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=1.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{1-1-1+1}{1-1-1+1}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {1}}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{{x} \to {1}}\frac{(x^3-x^2-x+1)'}{(x^4-x^3-x+1)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {1}}\frac{3x^2-2x-1}{4x^3-3x^2-1}

Opet probati uvrstiti $x=1.$

\frac{3-2-1}{4-3-1}=\frac{0}{0}

Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0},$ pa se ponovo primenjuje Lopitalova teorema.

\lim_{{x} \to {1}}\frac{3x^2-2x-1}{4x^3-3x^2-1}=\lim_{{x} \to {1}}\frac{(3x^2-2x-1)'}{(4x^3-3x^2-1)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {1}}\frac{6x-2}{12x^2-6x}

Opet pokušati zameniti $x=1.$ Ovaj put dobije se granična vrednost.

\frac{6-2}{12-6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

1. Lopitalova teorema