Lopitalova teorema: trigonometrijski limes kad x teži π

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\sin{\frac{x}{2}}+\cos{x}}{1+\sin^2{x}+\cos{x}}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=\pi.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{\sin{\frac{\pi}{2}}+\cos{\pi}}{1+\sin^2{\pi}+\cos{\pi}}=\frac{1-1}{1+0-1}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{x})'}{(1+\sin^2{x}+\cos{x})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\frac{1}{2}\cdot\cos{\frac{x}{2}}-\sin{x}}{2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}}

Opet probati uvrstiti $x=\pi.$

\frac{\frac{1}{2}\cdot0-0}{2\cdot0\cdot(-1)-0}=\frac{0}{0}

Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0},$ te se izraz sređuje:

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\frac{1}{2}\cos{x}-\sin{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})}}{2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}}=\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}}-2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}}

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\cos{\frac{x}{2}}(\frac{1}{2}-2\sin{\frac{x}{2}})}{\sin{x}(2\cos{x}-1)}=\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\cancel{\cos{\frac{x}{2}}}(\frac{1}{2}-2\sin{\frac{x}{2}})}{2\sin{\frac{x}{2}}\cancel{\cos{\frac{x}{2}}}(2\cos{x}-1)}

Uvrstiti vrednost za $x.$

\lim_{{x} \to {\pi}}\frac{\frac{1}{2}-2\sin{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}(2\cos{x}-1)}=\frac{\frac{1}{2}-2\sin{\frac{\pi}{2}}}{2\sin{\frac{\pi}{2}}(2\cos{\pi}-1)}

Srediti izraz:

\frac{\frac{1}{2}-2\cdot1}{2\cdot1\cdot(-2-1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{-2\cdot3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}

11. Lopitalova teorema