Lopitalova teorema: 7 na (x−3) i arctg u x = 3

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {3}}\frac{7^{x-3}-3^{x-3}}{\arctg{(x^2-9)}}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=3.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{7^{3-3}-3^{3-3}}{\arctg{(3^2-9)}}=\frac{7^0-3^0}{\arctg{(9-9)}}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {3}}\frac{(7^{x-3}-3^{x-3})'}{(\arctg{(x^2-9)})'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {3}}\frac{7^{x-3}\cdot\ln{7}\cdot(x-3)'-3^{x-3}\cdot\ln{3}\cdot(x-3)'}{\frac{(x^2-9)'}{1+(x^2-9)^2}}

\lim_{{x} \to {3}}\frac{7^{x-3}\cdot\ln{7}-3^{x-3}\cdot\ln{3}}{\frac{2x}{1+(x^2-9)^2}}

Zameniti vrednost za $x.$

\frac{7^0\cdot\ln{7}-3^0\cdot\ln{3}}{\frac{6}{1+0}}=\frac{1}{6}(\ln{7}-\ln{3})=\frac{1}{6}\cdot\ln{\frac{7}{3}}

3. Lopitalova teorema