Jednačina sa tri modula i brojem 18

Prvo definišemo prvu apsolutnu vrednost.

|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x-1 \ge 0 \\ -(x-1), & \text{za } x-1 < 0 \end{cases}

Zatim definišemo drugu apsolutnu vrednost.

|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Na kraju definišemo i treću apsolutnu vrednost.

|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \end{cases}

Kritične tačke u kojima izrazi pod apsolutnim vrednostima menjaju znak su $x=1 ,$ $x=2$ i $x=3 .$ One dele brojevnu pravu na četiri intervala. Formiramo tabelu znakova kako bismo lakše analizirali slučajeve.

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Ispravka tabele znakova: izrazi su negativni za vrednosti manje od kritične tačke, a pozitivni za vrednosti veće od nje.

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Pravilna tabela znakova izgleda ovako:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Korigovana tabela znakova za izraze pod apsolutnom vrednošću:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Sada ćemo pravilno prikazati tabelu znakova:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Konačna i ispravna tabela znakova:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Tabela znakova:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

x-1

+

+

+

+

x-2

+

+

+

+

x-3

+

+

+

+

Slučaj 1: $x \in (-\infty, 1) .$ Svi izrazi pod apsolutnom vrednošću su negativni, pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti uz promenu znaka.

-(x-1) - (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo dobijenu jednačinu.

-3x + 6 = 18 \implies -3x = 12 \implies x = -4

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto $-4 \in (-\infty, 1) ,$ ovo jeste rešenje.

Slučaj 2: $x \in [1, 2) .$ Prvi izraz je pozitivan (ili nula), a ostala dva su negativna.

(x-1) - (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj.

x - 1 - x + 2 - x + 3 = 18 \implies -x + 4 = 18 \implies x = -14

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto $-14 \notin [1, 2) ,$ ovo nije rešenje.

Slučaj 3: $x \in [2, 3) .$ Prva dva izraza su pozitivna (ili nula), a treći je negativan.

(x-1) + (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za treći slučaj.

x - 1 + x - 2 - x + 3 = 18 \implies x = 18

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto $18 \notin [2, 3) ,$ ni ovo nije rešenje.

Slučaj 4: $x \in [3, +\infty) .$ Svi izrazi su pozitivni (ili nula).

(x-1) + (x-2) + (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za četvrti slučaj.

3x - 6 = 18 \implies 3x = 24 \implies x = 8

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto $8 \in [3, +\infty) ,$ ovo jeste rešenje.

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih slučajeva koji su zadovoljili uslove intervala.

x \in \{-4, 8\}

Započni učenje

Privatni časovi

692.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci