4354.

681.v

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: ∣2x−3∣=x |2x-3| = x

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza 2x−3 2x-3 prema definiciji:

∣2x−3∣={2x−3,za 2x−3≥0−(2x−3),za 2x−3<0|2x-3| = \begin{cases} 2x-3, & \text{za } 2x-3 \ge 0 \\ -(2x-3), & \text{za } 2x-3 < 0 \end{cases}

Određujemo intervale na osnovu nule izraza unutar apsolutne vrednosti:

2x−3=0  ⟹  2x=3  ⟹  x=322x-3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}

Razmatramo prvi slučaj kada je izraz nenegativan:

x∈[32,+∞)x \in [\frac{3}{2}, +\infty)

U ovom intervalu jednačina postaje:

2x−3=x2x - 3 = x

Rešavamo linearnu jednačinu:

2x−x=3  ⟹  x=32x - x = 3 \implies x = 3

Proveravamo da li rešenje x=3 x = 3 pripada intervalu [32,+∞). [\frac{3}{2}, +\infty) . Pošto je 3≥1.5, 3 \ge 1.5 , rešenje je prihvatljivo.

Razmatramo drugi slučaj kada je izraz negativan:

x∈(−∞,32)x \in (-\infty, \frac{3}{2})

U ovom intervalu jednačina postaje:

−(2x−3)=x-(2x - 3) = x

Rešavamo linearnu jednačinu:

−2x+3=x  ⟹  3=3x  ⟹  x=1-2x + 3 = x \implies 3 = 3x \implies x = 1

Proveravamo da li rešenje x=1 x = 1 pripada intervalu (−∞,32). (-\infty, \frac{3}{2}) . Pošto je 1<1.5, 1 < 1.5 , rešenje je prihvatljivo.

Konačna rešenja jednačine su:

x1=3,x2=1x_1 = 3, \quad x_2 = 1