Jednačina sa parametrom m i brojem 8x minus 4

Prvo ćemo srediti jednačinu tako da sve članove sa nepoznatom $x$ prebacimo na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu. Razvijamo zagradu na levoj strani:

m^3x - m^2 = 8x - 4

Prebacujemo $8x$ na levu stranu i $-m^2$ na desnu stranu:

m^3x - 8x = m^2 - 4

Izvlačimo zajednički faktor $x$ na levoj strani:

x(m^3 - 8) = m^2 - 4

Primenjujemo formulu za razliku kubova $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ na izraz u zagradi i razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ na desnu stranu:

x(m-2)(m^2 + 2m + 4) = (m-2)(m+2)

Sada analiziramo slučajeve u zavisnosti od vrednosti parametra $m .$ Prvi slučaj je kada je koeficijent uz $x$ jednak nuli. To se dešava kada je $m-2 = 0 ,$ odnosno $m = 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

x(2-2)(2^2 + 2\cdot2 + 4) = (2-2)(2+2) \\ x \cdot 0 \cdot 12 = 0 \cdot 4 \\ 0 = 0

Pošto smo dobili identitet $0=0 ,$ zaključujemo da za $m=2$ jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

x \in \mathbb{R}

Drugi slučaj je kada je $m \neq 2 .$ Tada možemo podeliti celu jednačinu sa $(m-2) .$ Primetimo da je izraz $m^2 + 2m + 4$ uvek pozitivan za svako realno $m$ (jer je diskriminanta $D = 2^2 - 4 \cdot 4 = -12 < 0$ ), pa nikada nije nula. Deljenjem dobijamo:

x = \frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)}

Skraćivanjem razlomka sa $m-2$ dobijamo jedinstveno rešenje:

x = \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}

Konačno rešenje diskusije:

\begin{cases} m = 2 \implies x \in \mathbb{R} \\ m \neq 2 \implies x = \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

680.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci