4358.

680.l

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

(m−1)(m−2)(m2−9)x=m3−7m+6(m-1)(m-2)(m^2-9)x = m^3 - 7m + 6
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati levu i desnu stranu jednačine. Leva strana je već delimično faktorisana, dok ćemo desnu stranu m3−7m+6 m^3 - 7m + 6 faktorisati traženjem nula polinoma.

m3−7m+6=m3−m−6m+6=m(m2−1)−6(m−1)=m(m−1)(m+1)−6(m−1)m^3 - 7m + 6 = m^3 - m - 6m + 6 = m(m^2-1) - 6(m-1) = m(m-1)(m+1) - 6(m-1)

Izvlačimo zajednički faktor (m−1) (m-1) i nastavljamo faktorizaciju:

(m−1)[m(m+1)−6]=(m−1)(m2+m−6)=(m−1)(m−2)(m+3)(m-1)[m(m+1) - 6] = (m-1)(m^2 + m - 6) = (m-1)(m-2)(m+3)

Sada jednačinu možemo zapisati u obliku A⋅x=B, A \cdot x = B , gde su faktori na levoj strani potpuno razvijeni:

(m−1)(m−2)(m−3)(m+3)x=(m−1)(m−2)(m+3)(m-1)(m-2)(m-3)(m+3)x = (m-1)(m-2)(m+3)

Razmatramo slučajeve kada je koeficijent uz x x različit od nule. To je ispunjeno ako je m∉{1,2,3,−3}. m \notin \{1, 2, 3, -3\} . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x=(m−1)(m−2)(m+3)(m−1)(m−2)(m−3)(m+3)=1m−3x = \frac{(m-1)(m-2)(m+3)}{(m-1)(m-2)(m-3)(m+3)} = \frac{1}{m-3}

Ispitujemo specijalne slučajeve kada je koeficijent uz x x jednak nuli. Za m=1, m = 1 , zamenom u jednačinu dobijamo:

0⋅x=00 \cdot x = 0

U ovom slučaju jednačina je identitet, pa je rešenje bilo koji realan broj:

x∈Rx \in \mathbb{R}

Za m=2, m = 2 , zamenom u jednačinu dobijamo:

0⋅x=0  ⟹  x∈R0 \cdot x = 0 \implies x \in \mathbb{R}

Za m=−3, m = -3 , zamenom u jednačinu dobijamo:

0⋅x=0  ⟹  x∈R0 \cdot x = 0 \implies x \in \mathbb{R}

Za m=3, m = 3 , zamenom u jednačinu dobijamo:

0⋅x=(3−1)(3−2)(3+3)=2⋅1⋅6=120 \cdot x = (3-1)(3-2)(3+3) = 2 \cdot 1 \cdot 6 = 12

Kako dobijamo kontradikciju 0=12, 0 = 12 , u ovom slučaju jednačina nema rešenja:

x∈∅x \in \emptyset

Sumiramo rezultate diskusije:

{m∈R∖{1,2,3,−3},x=1m−3m∈{1,2,−3},x∈Rm=3,x∈∅\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2, 3, -3\}, & x = \frac{1}{m-3} \\ m \in \{1, 2, -3\}, & x \in \mathbb{R} \\ m = 3, & x \in \emptyset \end{cases}