Jednačina sa parametrom m i četiri činioca

Prvo ćemo transformisati levu i desnu stranu jednačine. Leva strana je već delimično faktorisana, dok ćemo desnu stranu $m^3 - 7m + 6$ faktorisati traženjem nula polinoma.

m^3 - 7m + 6 = m^3 - m - 6m + 6 = m(m^2-1) - 6(m-1) = m(m-1)(m+1) - 6(m-1)

Izvlačimo zajednički faktor $(m-1)$ i nastavljamo faktorizaciju:

(m-1)[m(m+1) - 6] = (m-1)(m^2 + m - 6) = (m-1)(m-2)(m+3)

Sada jednačinu možemo zapisati u obliku $A \cdot x = B ,$ gde su faktori na levoj strani potpuno razvijeni:

(m-1)(m-2)(m-3)(m+3)x = (m-1)(m-2)(m+3)

Razmatramo slučajeve kada je koeficijent uz $x$ različit od nule. To je ispunjeno ako je $m \notin \{1, 2, 3, -3\} .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x = \frac{(m-1)(m-2)(m+3)}{(m-1)(m-2)(m-3)(m+3)} = \frac{1}{m-3}

Ispitujemo specijalne slučajeve kada je koeficijent uz $x$ jednak nuli. Za $m = 1 ,$ zamenom u jednačinu dobijamo:

0 \cdot x = 0

U ovom slučaju jednačina je identitet, pa je rešenje bilo koji realan broj:

x \in \mathbb{R}

Za $m = 2 ,$ zamenom u jednačinu dobijamo:

0 \cdot x = 0 \implies x \in \mathbb{R}

Za $m = -3 ,$ zamenom u jednačinu dobijamo:

0 \cdot x = 0 \implies x \in \mathbb{R}

Za $m = 3 ,$ zamenom u jednačinu dobijamo:

0 \cdot x = (3-1)(3-2)(3+3) = 2 \cdot 1 \cdot 6 = 12

Kako dobijamo kontradikciju $0 = 12 ,$ u ovom slučaju jednačina nema rešenja:

x \in \emptyset

Sumiramo rezultate diskusije:

\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2, 3, -3\}, & x = \frac{1}{m-3} \\ m \in \{1, 2, -3\}, & x \in \mathbb{R} \\ m = 3, & x \in \emptyset \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

680.l

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci