4359. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: $\frac{2}{x^4+2x^3+4x^2} + \frac{x+1}{8-x^3} = \frac{1}{2x^2-x^3} - \frac{1}{x^2} .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenioce svih razlomaka kako bismo odredili domen jednačine i zajednički imenilac.

\begin{aligned} x^4+2x^3+4x^2 &= x^2(x^2+2x+4) \\ 8-x^3 &= (2-x)(4+2x+x^2) \\ 2x^2-x^3 &= x^2(2-x) \\ x^2 &= x^2 \end{aligned}

Određujemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula. Izraz $x^2+2x+4$ je uvek pozitivan jer je diskriminanta $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 ,$ a vodeći koeficijent pozitivan.

x \neq 0, \quad x \neq 2

Sada prepisujemo jednačinu koristeći faktorisane oblike:

\frac{2}{x^2(x^2+2x+4)} + \frac{x+1}{(2-x)(x^2+2x+4)} = \frac{1}{x^2(2-x)} - \frac{1}{x^2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $x^2(2-x)(x^2+2x+4) :$

2(2-x) + (x+1)x^2 = (x^2+2x+4) - (2-x)(x^2+2x+4)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine. Primetimo da je $(2-x)(x^2+2x+4) = 8-x^3 :$

4 - 2x + x^3 + x^2 = x^2 + 2x + 4 - (8 - x^3)

Oslobađamo se zagrada na desnoj strani:

x^3 + x^2 - 2x + 4 = x^2 + 2x + 4 - 8 + x^3

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova na jednu stranu ili poništavanjem istih članova:

x^3 + x^2 - 2x + 4 = x^3 + x^2 + 2x - 4

Poništavamo $x^3$ i $x^2$ sa obe strane:

-2x + 4 = 2x - 4

Rešavamo linearnu jednačinu po $x :$

4x = 8 \implies x = 2

Proveravamo dobijeno rešenje u odnosu na domen definisan u koraku 2. Pošto smo odredili da $x$ ne sme biti 2, dobijena vrednost ne pripada domenu.

x = 2 \notin D_f \implies x \in \emptyset

Zaključujemo da polazna jednačina nema rešenja.

678.d