4359.

678.d

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: 2x4+2x3+4x2+x+18−x3=12x2−x3−1x2. \frac{2}{x^4+2x^3+4x^2} + \frac{x+1}{8-x^3} = \frac{1}{2x^2-x^3} - \frac{1}{x^2} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenioce svih razlomaka kako bismo odredili domen jednačine i zajednički imenilac.

x4+2x3+4x2=x2(x2+2x+4)8−x3=(2−x)(4+2x+x2)2x2−x3=x2(2−x)x2=x2\begin{aligned} x^4+2x^3+4x^2 &= x^2(x^2+2x+4) \\ 8-x^3 &= (2-x)(4+2x+x^2) \\ 2x^2-x^3 &= x^2(2-x) \\ x^2 &= x^2 \end{aligned}

Određujemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula. Izraz x2+2x+4 x^2+2x+4 je uvek pozitivan jer je diskriminanta D=22−4⋅1⋅4=−12<0, D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 , a vodeći koeficijent pozitivan.

x≠0,x≠2x \neq 0, \quad x \neq 2

Sada prepisujemo jednačinu koristeći faktorisane oblike:

2x2(x2+2x+4)+x+1(2−x)(x2+2x+4)=1x2(2−x)−1x2\frac{2}{x^2(x^2+2x+4)} + \frac{x+1}{(2-x)(x^2+2x+4)} = \frac{1}{x^2(2-x)} - \frac{1}{x^2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem x2(2−x)(x2+2x+4): x^2(2-x)(x^2+2x+4) :

2(2−x)+(x+1)x2=(x2+2x+4)−(2−x)(x2+2x+4)2(2-x) + (x+1)x^2 = (x^2+2x+4) - (2-x)(x^2+2x+4)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine. Primetimo da je (2−x)(x2+2x+4)=8−x3: (2-x)(x^2+2x+4) = 8-x^3 :

4−2x+x3+x2=x2+2x+4−(8−x3)4 - 2x + x^3 + x^2 = x^2 + 2x + 4 - (8 - x^3)

Oslobađamo se zagrada na desnoj strani:

x3+x2−2x+4=x2+2x+4−8+x3x^3 + x^2 - 2x + 4 = x^2 + 2x + 4 - 8 + x^3

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova na jednu stranu ili poništavanjem istih članova:

x3+x2−2x+4=x3+x2+2x−4x^3 + x^2 - 2x + 4 = x^3 + x^2 + 2x - 4

Poništavamo x3 x^3 i x2 x^2 sa obe strane:

−2x+4=2x−4-2x + 4 = 2x - 4

Rešavamo linearnu jednačinu po x: x :

4x=8  ⟹  x=24x = 8 \implies x = 2

Proveravamo dobijeno rešenje u odnosu na domen definisan u koraku 2. Pošto smo odredili da x x ne sme biti 2, dobijena vrednost ne pripada domenu.

x=2∉Df  ⟹  x∈∅x = 2 \notin D_f \implies x \in \emptyset

Zaključujemo da polazna jednačina nema rešenja.