Jednačina sa koeficijentom m na 2 − 3m + 2

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom uz $x$ na činioce. Tražimo nule izraza $m^2 - 3m + 2 .$

m^2 - 3m + 2 = m^2 - 2m - m + 2 = m(m - 2) - (m - 2) = (m - 1)(m - 2)

Sada jednačinu možemo zapisati u obliku:

(m - 1)(m - 2)x = m - 1

Razmatramo prvi slučaj kada je koeficijent uz $x$ različit od nule, odnosno kada je $m \neq 1$ i $m \neq 2 .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x = \frac{m - 1}{(m - 1)(m - 2)} = \frac{1}{m - 2}

Razmatramo drugi slučaj kada je $m = 1 .$ Zamenom u transformisanu jednačinu dobijamo:

(1 - 1)(1 - 2)x = 1 - 1 \implies 0 \cdot (-1) \cdot x = 0 \implies 0 = 0

U slučaju $m = 1 ,$ jednačina je identitet, što znači da je svako $x \in \mathbb{R}$ rešenje.

x \in \mathbb{R}

Razmatramo treći slučaj kada je $m = 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

(2 - 1)(2 - 2)x = 2 - 1 \implies 1 \cdot 0 \cdot x = 1 \implies 0 = 1

U slučaju $m = 2 ,$ dobijamo kontradikciju, što znači da jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

Zaključak diskusije:

\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}, & x = \frac{1}{m - 2} \\ m = 1, & x \in \mathbb{R} \\ m = 2, & x \in \emptyset \end{cases}

680.ž