4360.

680.ž

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

(m2−3m+2)x=m−1(m^2 - 3m + 2)x = m - 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom uz x x na činioce. Tražimo nule izraza m2−3m+2. m^2 - 3m + 2 .

m2−3m+2=m2−2m−m+2=m(m−2)−(m−2)=(m−1)(m−2)m^2 - 3m + 2 = m^2 - 2m - m + 2 = m(m - 2) - (m - 2) = (m - 1)(m - 2)

Sada jednačinu možemo zapisati u obliku:

(m−1)(m−2)x=m−1(m - 1)(m - 2)x = m - 1

Razmatramo prvi slučaj kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno kada je m≠1 m \neq 1 i m≠2. m \neq 2 . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x=m−1(m−1)(m−2)=1m−2x = \frac{m - 1}{(m - 1)(m - 2)} = \frac{1}{m - 2}

Razmatramo drugi slučaj kada je m=1. m = 1 . Zamenom u transformisanu jednačinu dobijamo:

(1−1)(1−2)x=1−1  ⟹  0⋅(−1)⋅x=0  ⟹  0=0(1 - 1)(1 - 2)x = 1 - 1 \implies 0 \cdot (-1) \cdot x = 0 \implies 0 = 0

U slučaju m=1, m = 1 , jednačina je identitet, što znači da je svako x∈R x \in \mathbb{R} rešenje.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Razmatramo treći slučaj kada je m=2. m = 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

(2−1)(2−2)x=2−1  ⟹  1⋅0⋅x=1  ⟹  0=1(2 - 1)(2 - 2)x = 2 - 1 \implies 1 \cdot 0 \cdot x = 1 \implies 0 = 1

U slučaju m=2, m = 2 , dobijamo kontradikciju, što znači da jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Zaključak diskusije:

{m∈R∖{1,2},x=1m−2m=1,x∈Rm=2,x∈∅\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}, & x = \frac{1}{m - 2} \\ m = 1, & x \in \mathbb{R} \\ m = 2, & x \in \emptyset \end{cases}