4356.

680.z

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

m2x+1=m(x+1)m^2x + 1 = m(x+1)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati jednačinu tako da sve članove sa nepoznatom x x prebacimo na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu. Prvo oslobađamo zagradu na desnoj strani:

m2x+1=mx+mm^2x + 1 = mx + m

Prebacujemo mx mx na levu stranu, a broj 1 1 na desnu stranu:

m2x−mx=m−1m^2x - mx = m - 1

Izdvajamo zajednički faktor x x ispred zagrade na levoj strani:

x(m2−m)=m−1x(m^2 - m) = m - 1

Faktorišemo izraz u zagradi izvlačenjem m: m :

x⋅m(m−1)=m−1x \cdot m(m - 1) = m - 1

Sada analiziramo slučajeve u zavisnosti od vrednosti parametra m. m . Prvi slučaj je kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno m≠0 m \neq 0 i m−1≠0 m - 1 \neq 0 (m≠1 m \neq 1 ). Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x=m−1m(m−1)x = \frac{m - 1}{m(m - 1)}

Skraćivanjem razlomka sa m−1 m - 1 (što je dozvoljeno jer je m≠1 m \neq 1 ), dobijamo:

x=1mx = \frac{1}{m}

Drugi slučaj je kada je m=0. m = 0 . Zamenom u jednačinu x⋅m(m−1)=m−1 x \cdot m(m - 1) = m - 1 dobijamo:

x⋅0(0−1)=0−1  ⟹  0=−1x \cdot 0(0 - 1) = 0 - 1 \implies 0 = -1

Pošto je dobijena jednakost nemoguća, za m=0 m = 0 jednačina nema rešenja (nemoguća je).

x∈∅x \in \emptyset

Treći slučaj je kada je m=1. m = 1 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

x⋅1(1−1)=1−1  ⟹  0=0x \cdot 1(1 - 1) = 1 - 1 \implies 0 = 0

Pošto je dobijena jednakost uvek tačna, za m=1 m = 1 jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, odnosno svaki realan broj je rešenje.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Zaključak:

{m∈R∖{0,1}  ⟹  x=1mm=0  ⟹  x∈∅m=1  ⟹  x∈R\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} \implies x = \frac{1}{m} \\ m = 0 \implies x \in \emptyset \\ m = 1 \implies x \in \mathbb{R} \end{cases}