4353.

681.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: 2∣x+1∣+x−3=0 2|x+1| + x - 3 = 0

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣x+1∣ |x+1| prema definiciji:

∣x+1∣={x+1,za x+1≥0−(x+1),za x+1<0|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x+1 \ge 0 \\ -(x+1), & \text{za } x+1 < 0 \end{cases}

Određujemo kritičnu tačku iz uslova x+1=0, x+1 = 0 , što daje x=−1. x = -1 . Razmatramo dva slučaja.

Prvi slučaj: x∈[−1,+∞). x \in [-1, +\infty) . Tada je ∣x+1∣=x+1. |x+1| = x+1 . Jednačina postaje:

2(x+1)+x−3=02(x+1) + x - 3 = 0

Sređujemo jednačinu i računamo vrednost x: x :

2x+2+x−3=03x−1=03x=1x=132x + 2 + x - 3 = 0 \\ 3x - 1 = 0 \\ 3x = 1 \\ x = \frac{1}{3}

Proveravamo da li rešenje x=13 x = \frac{1}{3} pripada intervalu [−1,+∞). [-1, +\infty) . Pošto je 13≥−1, \frac{1}{3} \ge -1 , ovo je validno rešenje.

Drugi slučaj: x∈(−∞,−1). x \in (-\infty, -1) . Tada je ∣x+1∣=−(x+1). |x+1| = -(x+1) . Jednačina postaje:

2(−(x+1))+x−3=02(-(x+1)) + x - 3 = 0

Sređujemo jednačinu i računamo vrednost x: x :

−2x−2+x−3=0−x−5=0−x=5x=−5-2x - 2 + x - 3 = 0 \\ -x - 5 = 0 \\ -x = 5 \\ x = -5

Proveravamo da li rešenje x=−5 x = -5 pripada intervalu (−∞,−1). (-\infty, -1) . Pošto je −5<−1, -5 < -1 , ovo je takođe validno rešenje.

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{−5,13}x \in \left\{ -5, \frac{1}{3} \right\}