4348. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu sa apsolutnim vrednostima: $2|x+1| - 3|x-2| = 1 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x+1| :$

|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{za } x < -1 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x-2| :$

|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x \ge 2 \\ -(x-2), & \text{za } x < 2 \end{cases}

x \in (-\infty, -1)

x \in [-1, 2)

x \in [2, +\infty)

|x+1|

-(x+1)

x+1

x+1

|x-2|

-(x-2)

-(x-2)

x-2

Razmatramo prvi slučaj kada je $x < -1 :$

2(-(x+1)) - 3(-(x-2)) = 1 \\ -2x - 2 + 3x - 6 = 1 \\ x - 8 = 1 \\ x = 9

Proveravamo da li rešenje $x = 9$ pripada intervalu $(-\infty, -1) .$ Pošto ne pripada, u ovom slučaju nema rešenja.

9 \notin (-\infty, -1)

Razmatramo drugi slučaj kada je $-1 \le x < 2 :$

2(x+1) - 3(-(x-2)) = 1 \\ 2x + 2 + 3x - 6 = 1 \\ 5x - 4 = 1 \\ 5x = 5 \\ x = 1

Proveravamo da li rešenje $x = 1$ pripada intervalu $[-1, 2) .$ Pošto pripada, ovo je validno rešenje.

1 \in [-1, 2)

Razmatramo treći slučaj kada je $x \ge 2 :$

2(x+1) - 3(x-2) = 1 \\ 2x + 2 - 3x + 6 = 1 \\ -x + 8 = 1 \\ -x = -7 \\ x = 7

Proveravamo da li rešenje $x = 7$ pripada intervalu $[2, +\infty) .$ Pošto pripada, ovo je takođe validno rešenje.

7 \in [2, +\infty)

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{1, 7\}

681.d