4349. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: $|x+4| - |x-3| = x$

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutne vrednosti koje se pojavljuju u jednačini:

|x+4| = \begin{cases} x+4, & \text{za } x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 \\ -(x+4), & \text{za } x+4 < 0 \implies x < -4 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \implies x < 3 \end{cases}

x \in (-\infty, -4)

x \in [-4, 3)

x \in [3, +\infty)

x+4

-

+

+

x-3

-

-

+

Razmatramo prvi slučaj kada je $x < -4 :$

-(x+4) - (-(x-3)) = x \\ -x - 4 + x - 3 = x \\ -7 = x

Proveravamo da li rešenje $x = -7$ pripada intervalu $(-\infty, -4) .$ Kako je $-7 < -4 ,$ ovo je validno rešenje.

x_1 = -7

Razmatramo drugi slučaj kada je $-4 \le x < 3 :$

(x+4) - (-(x-3)) = x \\ x + 4 + x - 3 = x \\ 2x + 1 = x \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje $x = -1$ pripada intervalu $[-4, 3) .$ Kako je $-4 \le -1 < 3 ,$ ovo je validno rešenje.

x_2 = -1

Razmatramo treći slučaj kada je $x \ge 3 :$

(x+4) - (x-3) = x \\ x + 4 - x + 3 = x \\ 7 = x

Proveravamo da li rešenje $x = 7$ pripada intervalu $[3, +\infty) .$ Kako je $7 \ge 3 ,$ ovo je validno rešenje.

x_3 = 7

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{-7, -1, 7\}

681.đ