Jednačina x plus moduo x plus moduo x − 1 jednako 2

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x| .$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x-1| .$

|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x-1 \ge 0 \\ -(x-1), & \text{za } x-1 < 0 \end{cases}

Kritične tačke u kojima izrazi pod apsolutnom vrednošću menjaju znak su $x = 0$ i $x - 1 = 0 \implies x = 1 .$ Ove tačke dele brojevnu pravu na tri intervala.

x \in (-\infty, 0), \quad x \in [0, 1), \quad x \in [1, +\infty)

Prikazujemo znakove izraza pod apsolutnom vrednošću po intervalima u tabeli.

x \in (-\infty, 0)

x \in [0, 1)

x \in [1, +\infty)

x

-

+

+

x-1

-

-

+

Slučaj 1: Posmatramo prvi interval $x \in (-\infty, 0) .$ Na ovom intervalu oba izraza su negativna, pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti sa predznakom minus.

x + (-x) + (-(x-1)) = 2

Rešavamo jednačinu za prvi interval.

x - x - x + 1 = 2 \implies -x = 1 \implies x = -1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto $-1 \in (-\infty, 0) ,$ ovo jeste validno rešenje.

x_1 = -1

Slučaj 2: Posmatramo drugi interval $x \in [0, 1) .$ Na ovom intervalu je $x \ge 0$ (pozitivan znak), a $x-1 < 0$ (negativan znak).

x + x + (-(x-1)) = 2

Rešavamo jednačinu za drugi interval.

2x - x + 1 = 2 \implies x + 1 = 2 \implies x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto $1 \notin [0, 1) ,$ ovo rešenje odbacujemo u ovom slučaju.

x \neq 1 \text{ za } x \in [0, 1)

Slučaj 3: Posmatramo treći interval $x \in [1, +\infty) .$ Na ovom intervalu su oba izraza pozitivna (ili nula), pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti sa predznakom plus.

x + x + (x-1) = 2

Rešavamo jednačinu za treći interval.

3x - 1 = 2 \implies 3x = 3 \implies x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto $1 \in [1, +\infty) ,$ ovo jeste validno rešenje.

x_2 = 1

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih validnih slučajeva.

x \in \{-1, 1\}

Započni učenje

Privatni časovi

692.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci