4400.

692.đ

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

∣∣2x−3∣−x+1∣=4x−1||2x-3| - x + 1| = 4x - 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod unutrašnjom apsolutnom vrednošću ∣2x−3∣: |2x-3| :

∣2x−3∣={2x−3,za 2x−3≥0−(2x−3),za 2x−3<0|2x-3| = \begin{cases} 2x-3, & \text{za } 2x-3 \ge 0 \\ -(2x-3), & \text{za } 2x-3 < 0 \end{cases}

Rešavanjem nejednačina dobijamo uslove za x: x :

∣2x−3∣={2x−3,za x≥32−2x+3,za x<32|2x-3| = \begin{cases} 2x-3, & \text{za } x \ge \frac{3}{2} \\ -2x+3, & \text{za } x < \frac{3}{2} \end{cases}

Razmatramo prvi slučaj kada je x≥32. x \ge \frac{3}{2} . Tada je ∣2x−3∣=2x−3, |2x-3| = 2x-3 , pa početna jednačina postaje:

∣2x−3−x+1∣=4x−1|2x - 3 - x + 1| = 4x - 1

Sređujemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣x−2∣=4x−1|x - 2| = 4x - 1

Sada definišemo novu apsolutnu vrednost ∣x−2∣: |x-2| :

∣x−2∣={x−2,za x−2≥0−(x−2),za x−2<0|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Odnosno:

∣x−2∣={x−2,za x≥2−x+2,za x<2|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x \ge 2 \\ -x+2, & \text{za } x < 2 \end{cases}

U okviru prvog slučaja (x≥32 x \ge \frac{3}{2} ), razmatramo podslučaj kada je x≥2. x \ge 2 . Presek ova dva uslova je x≥2. x \ge 2 . Jednačina postaje:

x−2=4x−1x - 2 = 4x - 1

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

−3x=1  ⟹  x=−13-3x = 1 \implies x = -\frac{1}{3}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada intervalu x≥2. x \ge 2 . Pošto −13≥2 -\frac{1}{3} \ge 2 nije tačno, ovo rešenje odbacujemo.

Razmatramo drugi podslučaj kada je x<2. x < 2 . Uzimajući u obzir uslov prvog slučaja (x≥32 x \ge \frac{3}{2} ), dobijamo interval 32≤x<2. \frac{3}{2} \le x < 2 . Jednačina postaje:

−x+2=4x−1-x + 2 = 4x - 1

Rešavamo jednačinu:

−5x=−3  ⟹  x=35-5x = -3 \implies x = \frac{3}{5}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu 32≤x<2. \frac{3}{2} \le x < 2 . Pošto 35=0.6, \frac{3}{5} = 0.6 , a 32=1.5, \frac{3}{2} = 1.5 , rešenje ne pripada intervalu i odbacujemo ga.

Sada razmatramo drugi slučaj kada je x<32. x < \frac{3}{2} . Tada je ∣2x−3∣=−2x+3, |2x-3| = -2x+3 , pa početna jednačina postaje:

∣−2x+3−x+1∣=4x−1|-2x + 3 - x + 1| = 4x - 1

Sređujemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣−3x+4∣=4x−1|-3x + 4| = 4x - 1

Definišemo apsolutnu vrednost ∣−3x+4∣: |-3x+4| :

∣−3x+4∣={−3x+4,za −3x+4≥0−(−3x+4),za −3x+4<0|-3x+4| = \begin{cases} -3x+4, & \text{za } -3x+4 \ge 0 \\ -(-3x+4), & \text{za } -3x+4 < 0 \end{cases}

Rešavanjem nejednačina dobijamo:

∣−3x+4∣={−3x+4,za x≤433x−4,za x>43|-3x+4| = \begin{cases} -3x+4, & \text{za } x \le \frac{4}{3} \\ 3x-4, & \text{za } x > \frac{4}{3} \end{cases}

U okviru drugog slučaja (x<32 x < \frac{3}{2} ), razmatramo podslučaj kada je x≤43. x \le \frac{4}{3} . Presek ova dva uslova je x≤43. x \le \frac{4}{3} . Jednačina postaje:

−3x+4=4x−1-3x + 4 = 4x - 1

Rešavamo jednačinu:

−7x=−5  ⟹  x=57-7x = -5 \implies x = \frac{5}{7}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu x≤43. x \le \frac{4}{3} . Pošto je 57≈0.71 \frac{5}{7} \approx 0.71 i 43≈1.33, \frac{4}{3} \approx 1.33 , uslov je ispunjen. Ovo je validno rešenje.

Razmatramo drugi podslučaj kada je x>43. x > \frac{4}{3} . Uzimajući u obzir uslov drugog slučaja (x<32 x < \frac{3}{2} ), dobijamo interval 43<x<32. \frac{4}{3} < x < \frac{3}{2} . Jednačina postaje:

3x−4=4x−13x - 4 = 4x - 1

Rešavamo jednačinu:

−x=3  ⟹  x=−3-x = 3 \implies x = -3

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu 43<x<32. \frac{4}{3} < x < \frac{3}{2} . Pošto −3 -3 nije u ovom intervalu, rešenje odbacujemo.

Jedino rešenje koje zadovoljava sve uslove je:

x=57x = \frac{5}{7}