4406. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

|x| - |x-2| = 2

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost za izraz $|x| :$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost za izraz $|x-2| :$

|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova za drugu apsolutnu vrednost dobijamo:

|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x \ge 2 \\ -x+2, & \text{za } x < 2 \end{cases}

Kritične tačke su $x = 0$ i $x = 2 .$ One dele brojevnu pravu na tri intervala. Formiramo tabelu znakova za izraze pod apsolutnom vrednošću.

x \in (-\infty, 0)

x \in [0, 2)

x \in [2, +\infty)

x

-

+

+

x-2

-

-

+

Slučaj 1: $x \in (-\infty, 0) .$ U ovom intervalu oba izraza su negativna, pa jednačina postaje:

-x - (-(x-2)) = 2

Rešavamo jednačinu za prvi slučaj:

-x + x - 2 = 2 \implies -2 = 2

Dobili smo netačnu jednakost, što znači da jednačina nema rešenja u intervalu $(-\infty, 0) .$

x \in \emptyset

Slučaj 2: $x \in [0, 2) .$ U ovom intervalu prvi izraz je pozitivan, a drugi negativan:

x - (-(x-2)) = 2

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

x + x - 2 = 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2

Pošto dobijeno rešenje $x = 2$ ne pripada intervalu $[0, 2) ,$ ni u ovom slučaju nema rešenja.

x \in \emptyset

Slučaj 3: $x \in [2, +\infty) .$ U ovom intervalu oba izraza su pozitivna:

x - (x-2) = 2

Rešavamo jednačinu za treći slučaj:

x - x + 2 = 2 \implies 2 = 2

Dobili smo tačnu jednakost za svako $x$ iz posmatranog intervala. Dakle, rešenje trećeg slučaja je ceo interval:

x \in [2, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja iz sva tri slučaja:

x \in [2, +\infty)

692.z