4406.

692.z

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

∣x∣−∣x−2∣=2|x| - |x-2| = 2
REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost za izraz ∣x∣: |x| :

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost za izraz ∣x−2∣: |x-2| :

∣x−2∣={x−2,za x−2≥0−(x−2),za x−2<0|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova za drugu apsolutnu vrednost dobijamo:

∣x−2∣={x−2,za x≥2−x+2,za x<2|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x \ge 2 \\ -x+2, & \text{za } x < 2 \end{cases}

Kritične tačke su x=0 x = 0 i x=2. x = 2 . One dele brojevnu pravu na tri intervala. Formiramo tabelu znakova za izraze pod apsolutnom vrednošću.

x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
x∈[0,2)x \in [0, 2)
x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)
xx
−-
++
++
x−2x-2
−-
−-
++

Slučaj 1: x∈(−∞,0). x \in (-\infty, 0) . U ovom intervalu oba izraza su negativna, pa jednačina postaje:

−x−(−(x−2))=2-x - (-(x-2)) = 2

Rešavamo jednačinu za prvi slučaj:

−x+x−2=2  ⟹  −2=2-x + x - 2 = 2 \implies -2 = 2

Dobili smo netačnu jednakost, što znači da jednačina nema rešenja u intervalu (−∞,0). (-\infty, 0) .

x∈∅x \in \emptyset

Slučaj 2: x∈[0,2). x \in [0, 2) . U ovom intervalu prvi izraz je pozitivan, a drugi negativan:

x−(−(x−2))=2x - (-(x-2)) = 2

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

x+x−2=2  ⟹  2x=4  ⟹  x=2x + x - 2 = 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2

Pošto dobijeno rešenje x=2 x = 2 ne pripada intervalu [0,2), [0, 2) , ni u ovom slučaju nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Slučaj 3: x∈[2,+∞). x \in [2, +\infty) . U ovom intervalu oba izraza su pozitivna:

x−(x−2)=2x - (x-2) = 2

Rešavamo jednačinu za treći slučaj:

x−x+2=2  ⟹  2=2x - x + 2 = 2 \implies 2 = 2

Dobili smo tačnu jednakost za svako x x iz posmatranog intervala. Dakle, rešenje trećeg slučaja je ceo interval:

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja iz sva tri slučaja:

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)