4407.

692.v

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu sa apsolutnim vrednostima:

x2=5||x| - 2| = 5

REŠENJE ZADATKA

Pre rešavanja, definišemo izraze sa apsolutnom vrednošću koji se pojavljuju u jednačini. Prvo definišemo spoljašnju apsolutnu vrednost:

x2={x2,za x20(x2),za x2<0||x|-2| = \begin{cases} |x|-2, & \text{za } |x|-2 \ge 0 \\ -(|x|-2), & \text{za } |x|-2 < 0 \end{cases}

Zatim definišemo i unutrašnju apsolutnu vrednost:

x={x,za x0x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Jednačinu možemo rešiti razdvajanjem na dva slučaja, jer važi osobina da je A=c |A| = c ekvivalentno sa A=c A = c ili A=c A = -c (za c0 c \ge 0 ).

x2=5x2=5|x| - 2 = 5 \quad \lor \quad |x| - 2 = -5

Rešavamo prvi slučaj:

x2=5|x| - 2 = 5

Dodajemo 2 na obe strane jednačine:

x=7|x| = 7

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, ova jednačina ima dva rešenja:

x=7x=7x = 7 \quad \lor \quad x = -7

Sada prelazimo na drugi slučaj:

x2=5|x| - 2 = -5

Dodajemo 2 na obe strane jednačine:

x=3|x| = -3

Kako je apsolutna vrednost bilo kog realnog broja uvek nenegativna (x0 |x| \ge 0 ), ova jednačina nema realnih rešenja.

xx \in \emptyset

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x{7,7}x \in \{-7, 7\}