4405.

692.d

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

∣x∣−2∣x+1∣+3∣x+2∣=0|x| - 2|x+1| + 3|x+2| = 0
REŠENJE ZADATKA

Definišemo prvu apsolutnu vrednost po definiciji:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣x+1∣={x+1,za x+1≥0−(x+1),za x+1<0|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x+1 \ge 0 \\ -(x+1), & \text{za } x+1 < 0 \end{cases}

Definišemo treću apsolutnu vrednost:

∣x+2∣={x+2,za x+2≥0−(x+2),za x+2<0|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{za } x+2 \ge 0 \\ -(x+2), & \text{za } x+2 < 0 \end{cases}

Određujemo nule izraza pod apsolutnim vrednostima. To su x=0, x = 0 , x=−1 x = -1 i x=−2. x = -2 . One dele brojevnu pravu na četiri intervala za koje pravimo tabelu znakova.

x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,−1)x \in (-2, -1)
x∈(−1,0)x \in (-1, 0)
x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
x+2x+2
−-
++
++
++
x+1x+1
−-
−-
++
++
xx
−-
−-
−-
++

Slučaj 1: x∈(−∞,−2). x \in (-\infty, -2) . Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su negativni, pa se oslobađamo apsolutnih zagrada uz promenu znaka.

−x−2(−(x+1))+3(−(x+2))=0-x - 2(-(x+1)) + 3(-(x+2)) = 0

Sređujemo dobijenu jednačinu:

−x+2x+2−3x−6=0  ⟹  −2x−4=0  ⟹  x=−2-x + 2x + 2 - 3x - 6 = 0 \implies -2x - 4 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Kako −2∉(−∞,−2), -2 \notin (-\infty, -2) , ovo nije rešenje u ovom intervalu.

Slučaj 2: x∈[−2,−1). x \in [-2, -1) . Izraz x+2 x+2 je nenegativan, dok su ostali negativni.

−x−2(−(x+1))+3(x+2)=0-x - 2(-(x+1)) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

−x+2x+2+3x+6=0  ⟹  4x+8=0  ⟹  x=−2-x + 2x + 2 + 3x + 6 = 0 \implies 4x + 8 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Kako −2∈[−2,−1), -2 \in [-2, -1) , ovo jeste validno rešenje.

Slučaj 3: x∈[−1,0). x \in [-1, 0) . Izrazi x+2 x+2 i x+1 x+1 su nenegativni, dok je x x negativan.

−x−2(x+1)+3(x+2)=0-x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

−x−2x−2+3x+6=0  ⟹  4=0-x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0 \implies 4 = 0

Dobili smo netačan iskaz, što znači da jednačina nema rešenja u ovom intervalu.

Slučaj 4: x∈[0,+∞). x \in [0, +\infty) . Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su nenegativni.

x−2(x+1)+3(x+2)=0x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

x−2x−2+3x+6=0  ⟹  2x+4=0  ⟹  x=−2x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0 \implies 2x + 4 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Kako −2∉[0,+∞), -2 \notin [0, +\infty) , ovo nije rešenje u ovom intervalu.

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih razmatranih slučajeva.

x=−2x = -2