4404.

692.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

∣x−4∣−∣x−6∣=2|x-4| - |x-6| = 2
REŠENJE ZADATKA

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

∣x−4∣={x−4,za x−4≥0−(x−4),za x−4<0|x-4| = \begin{cases} x-4, & \text{za } x-4 \ge 0 \\ -(x-4), & \text{za } x-4 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣x−6∣={x−6,za x−6≥0−(x−6),za x−6<0|x-6| = \begin{cases} x-6, & \text{za } x-6 \ge 0 \\ -(x-6), & \text{za } x-6 < 0 \end{cases}

Određujemo nule izraza pod apsolutnim vrednostima kako bismo podelili brojevnu pravu na intervale:

x−4=0  ⟹  x=4ix−6=0  ⟹  x=6x-4 = 0 \implies x = 4 \quad \text{i} \quad x-6 = 0 \implies x = 6
x∈(−∞,4)x \in (-\infty, 4)
x∈[4,6)x \in [4, 6)
x∈[6,+∞)x \in [6, +\infty)
x−4x-4
−-
++
++
x−6x-6
−-
−-
++

Prvi slučaj: x∈(−∞,4). x \in (-\infty, 4) . Oba izraza su negativna, pa oslobađanjem od apsolutnih vrednosti menjamo znak:

−(x−4)−(−(x−6))=2-(x-4) - (-(x-6)) = 2

Sređujemo jednačinu:

−x+4+x−6=2  ⟹  −2=2-x + 4 + x - 6 = 2 \implies -2 = 2

Dobili smo netačan iskaz, što znači da jednačina nema rešenja na ovom intervalu.

x∈∅x \in \emptyset

Drugi slučaj: x∈[4,6). x \in [4, 6) . Prvi izraz je pozitivan (ili nula), a drugi negativan:

(x−4)−(−(x−6))=2(x-4) - (-(x-6)) = 2

Sređujemo jednačinu:

x−4+x−6=2  ⟹  2x−10=2  ⟹  2x=12  ⟹  x=6x - 4 + x - 6 = 2 \implies 2x - 10 = 2 \implies 2x = 12 \implies x = 6

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto 6∉[4,6), 6 \notin [4, 6) , ovo rešenje odbacujemo.

x∈∅x \in \emptyset

Treći slučaj: x∈[6,+∞). x \in [6, +\infty) . Oba izraza su pozitivna (ili nula):

(x−4)−(x−6)=2(x-4) - (x-6) = 2

Sređujemo jednačinu:

x−4−x+6=2  ⟹  2=2x - 4 - x + 6 = 2 \implies 2 = 2

Dobili smo tačan iskaz, što znači da su svi brojevi iz ovog intervala rešenja jednačine.

x∈[6,+∞)x \in [6, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih slučajeva:

x∈[6,+∞)x \in [6, +\infty)