Jednačina moduo x − 4 minus moduo x − 6 jednako 2

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

|x-4| = \begin{cases} x-4, & \text{za } x-4 \ge 0 \\ -(x-4), & \text{za } x-4 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

|x-6| = \begin{cases} x-6, & \text{za } x-6 \ge 0 \\ -(x-6), & \text{za } x-6 < 0 \end{cases}

Određujemo nule izraza pod apsolutnim vrednostima kako bismo podelili brojevnu pravu na intervale:

x-4 = 0 \implies x = 4 \quad \text{i} \quad x-6 = 0 \implies x = 6

x \in (-\infty, 4)

x \in [4, 6)

x \in [6, +\infty)

x-4

-

+

+

x-6

-

-

+

Prvi slučaj: $x \in (-\infty, 4) .$ Oba izraza su negativna, pa oslobađanjem od apsolutnih vrednosti menjamo znak:

-(x-4) - (-(x-6)) = 2

Sređujemo jednačinu:

-x + 4 + x - 6 = 2 \implies -2 = 2

Dobili smo netačan iskaz, što znači da jednačina nema rešenja na ovom intervalu.

x \in \emptyset

Drugi slučaj: $x \in [4, 6) .$ Prvi izraz je pozitivan (ili nula), a drugi negativan:

(x-4) - (-(x-6)) = 2

Sređujemo jednačinu:

x - 4 + x - 6 = 2 \implies 2x - 10 = 2 \implies 2x = 12 \implies x = 6

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto $6 \notin [4, 6) ,$ ovo rešenje odbacujemo.

x \in \emptyset

Treći slučaj: $x \in [6, +\infty) .$ Oba izraza su pozitivna (ili nula):

(x-4) - (x-6) = 2

Sređujemo jednačinu:

x - 4 - x + 6 = 2 \implies 2 = 2

Dobili smo tačan iskaz, što znači da su svi brojevi iz ovog intervala rešenja jednačine.

x \in [6, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih slučajeva:

x \in [6, +\infty)

692.b