Jednačina sa tri modula jednaka nuli

Definišemo prvu apsolutnu vrednost po definiciji:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x+1 \ge 0 \\ -(x+1), & \text{za } x+1 < 0 \end{cases}

Definišemo treću apsolutnu vrednost:

|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{za } x+2 \ge 0 \\ -(x+2), & \text{za } x+2 < 0 \end{cases}

Određujemo nule izraza pod apsolutnim vrednostima. To su $x = 0 ,$ $x = -1$ i $x = -2 .$ One dele brojevnu pravu na četiri intervala za koje pravimo tabelu znakova.

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, -1)

x \in (-1, 0)

x \in (0, +\infty)

x+2

-

+

+

+

x+1

-

-

+

+

x

-

-

-

+

Slučaj 1: $x \in (-\infty, -2) .$ Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su negativni, pa se oslobađamo apsolutnih zagrada uz promenu znaka.

-x - 2(-(x+1)) + 3(-(x+2)) = 0

Sređujemo dobijenu jednačinu:

-x + 2x + 2 - 3x - 6 = 0 \implies -2x - 4 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Kako $-2 \notin (-\infty, -2) ,$ ovo nije rešenje u ovom intervalu.

Slučaj 2: $x \in [-2, -1) .$ Izraz $x+2$ je nenegativan, dok su ostali negativni.

-x - 2(-(x+1)) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

-x + 2x + 2 + 3x + 6 = 0 \implies 4x + 8 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Kako $-2 \in [-2, -1) ,$ ovo jeste validno rešenje.

Slučaj 3: $x \in [-1, 0) .$ Izrazi $x+2$ i $x+1$ su nenegativni, dok je $x$ negativan.

-x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

-x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0 \implies 4 = 0

Dobili smo netačan iskaz, što znači da jednačina nema rešenja u ovom intervalu.

Slučaj 4: $x \in [0, +\infty) .$ Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su nenegativni.

x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0

Sređujemo jednačinu:

x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0 \implies 2x + 4 = 0 \implies x = -2

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Kako $-2 \notin [0, +\infty) ,$ ovo nije rešenje u ovom intervalu.

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih razmatranih slučajeva.

x = -2

Započni učenje

Privatni časovi

692.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci