4409.

692.a

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

∣x+2∣+∣x−3∣=5−5x|x+2| + |x-3| = 5 - 5x
REŠENJE ZADATKA

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

∣x+2∣={x+2,za x+2≥0−(x+2),za x+2<0|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{za } x+2 \ge 0 \\ -(x+2), & \text{za } x+2 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣x−3∣={x−3,za x−3≥0−(x−3),za x−3<0|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \end{cases}

Određujemo nule izraza pod apsolutnim vrednostima kako bismo podelili brojevnu pravu na intervale:

x+2=0  ⟹  x=−2ix−3=0  ⟹  x=3x+2 = 0 \implies x = -2 \quad \text{i} \quad x-3 = 0 \implies x = 3
x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈[−2,3)x \in [-2, 3)
x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty)
x+2x+2
−-
++
++
x−3x-3
−-
−-
++

Prvi slučaj: x∈(−∞,−2). x \in (-\infty, -2) . Oba izraza pod apsolutnom vrednošću su negativna, pa menjaju znak.

−(x+2)−(x−3)=5−5x-(x+2) - (x-3) = 5 - 5x

Rešavamo jednačinu za prvi slučaj:

−x−2−x+3=5−5x−2x+1=5−5x3x=4  ⟹  x=43-x - 2 - x + 3 = 5 - 5x \\ -2x + 1 = 5 - 5x \\ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu:

43∉(−∞,−2)\frac{4}{3} \notin (-\infty, -2)

Drugi slučaj: x∈[−2,3). x \in [-2, 3) . Prvi izraz je pozitivan (ili nula), a drugi negativan.

(x+2)−(x−3)=5−5x(x+2) - (x-3) = 5 - 5x

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

x+2−x+3=5−5x5=5−5x5x=0  ⟹  x=0x + 2 - x + 3 = 5 - 5x \\ 5 = 5 - 5x \\ 5x = 0 \implies x = 0

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu:

0∈[−2,3)0 \in [-2, 3)

Treći slučaj: x∈[3,+∞). x \in [3, +\infty) . Oba izraza pod apsolutnom vrednošću su pozitivna (ili nula).

(x+2)+(x−3)=5−5x(x+2) + (x-3) = 5 - 5x

Rešavamo jednačinu za treći slučaj:

x+2+x−3=5−5x2x−1=5−5x7x=6  ⟹  x=67x + 2 + x - 3 = 5 - 5x \\ 2x - 1 = 5 - 5x \\ 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu:

67∉[3,+∞)\frac{6}{7} \notin [3, +\infty)

Konačno rešenje je unija svih rešenja koja pripadaju svojim intervalima:

x=0x = 0